2015高考数学《高考中的三角函数的综合问题》(苏教版)
来源: | 作者: | 时间:2014-09-07 | 浏览  | 设置字体:

 

资料概述与简介

     专题三 高考中的三角函数的综合问题

1.(2013·北京改编)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的________条件
答案 充分而不必要
解析 当φ=π时,y=sin(2x+φ)=-sin 2x过原点.当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z,不一定有φ=π.∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过原点”的充分不必要条件.
2.已知向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是________.
答案 π
解析 f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x
=1+sin,T==π.
3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<,则f(x)的最大值为________.
答案 2
解析 依题意,得f(x)=cos x+sin x=2sin(x+),
当0≤x<时,≤x+<,
f(x)的最大值是2.
4.已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(cos α,sin α),则向量与向量的夹角的取值范围是________.
答案 
解析 由题意,得:=+=(2+cos α,2+sin α),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A位于使向量与圆相切时,向量与向量的夹角分别达到最大、最小值.所以向量与向量的夹角的取值范围是[,π].
5.(2012·四川改编)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin∠CED=_______________________________.
答案 
解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解.
由题意知,在Rt△ADE中,∠AED=45°,
在Rt△BCE中,BE=2,BC=1,
∴CE=,则sin∠CEB=,cos∠CEB=.
而∠CED=45°-∠CEB,
∴sin∠CED=sin(45°-∠CEB)
=(cos∠CEB-sin∠CEB)
=×=.
方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解.
由题意得ED=,EC==.
在△EDC中,由余弦定理得
cos∠CED==,
又0<∠CED<π,
∴sin∠CED=
= =.
题型一 三角函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)=sin(ωx+)+sin(ωx-)-2cos2,x∈R(其中ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调增区间.
思维启迪 对三角函数的性质的讨论,首先要化成y=Asin(ωx+φ)+k(一角、一次、一函数)的形式;根据(2)中条件可确定ω.
解 (1)f(x)=sin ωx+cos ωx+sin ωx-cos ωx-(cos ωx+1)
=2(sin ωx-cos ωx)-1=2sin(ωx-)-1.
由-1≤sin(ωx-)≤1,
得-3≤2sin(ωx-)-1≤1,
所以函数f(x)的值域为[-3,1].
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,
所以=π,即ω=2.
所以f(x)=2sin(2x-)-1,
再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以函数y=f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
思维升华 三角函数的图象和性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.
 已知函数f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
解 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x
=1-sin 2x+2cos2x=2+cos 2x-sin 2x
=2+cos(2x+).
(1)函数f(x)的最小正周期T=π.
(2)因为≤x≤π,所以π≤2x+≤.
所以≤cos(2x+)≤1.
所以3≤2+cos(2x+)≤2+,即3≤f(x)≤2+.
所以函数f(x)的最小值为3,最大值为2+.
题型二 三角函数和解三角形
例2 (2013·重庆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
(1)求C;
(2)设cos Acos B=,=,求tan α的值.
思维启迪 (1)利用余弦定理求C;
(2)由(1)和cos Acos B=可求得A+B,代入求tan α.
解 (1)因为a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cos C===-.
又0

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