2015高考数学几何中的平行与垂直真题
来源: | 作者: | 时间:2014-09-07 | 浏览  | 设置字体:

 

资料概述与简介

     §8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直


1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为.
2.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或lα⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.
(3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或lα⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥βu1 ∥u2.
3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2v1⊥v2⇔v1·v2=0.
(2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥αv∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥βu1⊥u2⇔u1·u2=0.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × )
(3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( × )
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ )
(5)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.( × )
(6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
2.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则l1与l2所成的角的大小为________.
答案 90°
解析 a·b=-12+36-24=0,故a⊥b,即l1⊥l2.
3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列四点中,在平面α内的是________.
P1(2,3,3);  P2(-2,0,1);
P3(-4,4,0);  P4(3,-3,4).
答案 P1
解析 逐一验证法,对于P1,=(1,4,1),
∴·n=6-12+6=0,∴⊥n,
∴点P1在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.
4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为______________.
答案 ,-,4
解析 由题意知,⊥,⊥.
所以即
解得,x=,y=-,z=4.
5.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量n=(x,y,z),则x∶y∶z=________.
答案 2∶3∶(-4)

题型一 证明平行问题
例1 (2013·浙江改编)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
证明:PQ∥平面BCD.
思维启迪 证明线面平行,可以利用判定定理先证线线平行,也可利用平面的法向量.
证明 方法一 如图,取BD的中点O,以O为原点,OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知,
A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).
设点C的坐标为(x0,y0,0).
因为=3,
所以Q.
因为M为AD的中点,故M(0,,1).
又P为BM的中点,故P,
所以=.
又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故·a=0.
又PQ平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
方法二 在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连结OF,同证法一建立空间直角坐标系,写出点A、B、C的坐标,设点C坐标为(x0,y0,0).
∵=,设F点坐标系(x,y,0)则
(x-x0,y-y0,0)=(-x0,-y0,0)
∴
∴=(x0,+y0,0)
又由证法一知=(x0,+y0,0),
∴=,
∴PQ∥OF.
又PQ平面BCD,OF平面BCD,
∴PQ∥平面BCD.
思维升华 用向量证明线面平行的方法有
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.求证:PB∥平面EFG.
证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形,

∴AB、AP、AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).
∴=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),
设=s+t,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
∴解得s=t=2.
∴=2+2,
又∵与不共线,∴、与共面.
∵PB平面EFG,∴PB∥平面EFG.
题型二 证明垂直问题
例2 如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义,即证线与平面内的任意一条直线垂直;也可以证线与面的法向量平行.
证明 方法一 设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m=λ+μ.
令=a,=b,=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空间的一个基底,
则=a+c,=a+b,=a-c,
m=λ+μ=a+μb+λc,
·m=(a-c)·
=4-2μ-4λ=0.故⊥m,结论得证.
方法二 如图所示,取BC的中点O,连结AO.
因为△ABC为正三角形,
所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,以,,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),
A(0,0,),B1(1,2,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).
因为n⊥,n⊥,
故
令x=1,则y=2,z=-,
故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,
而=(1,2,-),所以=n,所以∥n,
故AB1⊥平面A1BD.
思维升华 用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.
(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.
(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.
 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.
(1)求证:CM∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.
证明 以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),
M(,0,),∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=(,0,),
(1)令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
则即∴
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥,又CM平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E,则E(,2,1),=(-,2,1).
∵PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥,∴BE⊥DA,
又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD,
又∵BE平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
题型三 解决探索性问题
例3 (2012·福建)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1;
(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
思维启迪 利用向量法建立空间直角坐标系,将几何问题进行转化;对于探索性问题可通过计算下结论.
(1)证明 以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),
E,B1(a,0,1),
故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.
∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)解 假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0).
使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).
∵n⊥平面B1AE,∴n⊥,n⊥,得
取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,
解得z0=.
又DP平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.
思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
 如图所示,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
(1)证明 连结BD,设AC交BD于O,则AC⊥BD.

由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系如图.
设底面边长为a,则高SO=a,
于是S,D,
B,C,=,=,则·=0.
故OC⊥SD.从而AC⊥SD.
(2)解 棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
理由如下:
由已知条件知是平面PAC的一个法向量,
且=,=,
=.
设=t,则=+=+t
=,
而·=0t=.
即当SE∶EC=2∶1时,⊥.
而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC.


利用向量法解决立体几何问题

典例:(14分)(2012·湖南)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)证明:CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
思维启迪 本题中的(1)有两种证明思路:
(1)利用常规方法,将证明线面垂直转化为证明线线垂直,利用线面垂直的判定定理证之;
(2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题,证明向量垂直;然后计算两个向量的数量积.
规范解答
方法一 (1)证明 如图,连结AC.由AB=4,BC=3,∠ABC=90°得AC=5.[1分]
又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE.[2分]
因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD.[4分]
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,
所以CD⊥平面PAE.[6分]
(2)解 过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于点F,G,连结PF.
由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.
于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,[8分]
且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.[9分]
由题意得∠PBA=∠BPF,
因为sin∠PBA=,sin∠BPF=,
所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC.
又BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形.
故GD=BC=3.于是AG=2.
在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以
BG==2,BF===.
于是PA=BF=.[12分]
又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥P-ABCD的体积为
V=×S×PA=×16×=.										[14分]
方法二 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).[2分]
(1)证明 易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
因为·=-8+8+0=0,·=0,[4分]
所以CD⊥AE,CD⊥AP.
而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.[6分]
(2)解 由题设和(1)知,,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量.[8分]
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
所以|cos〈,〉|=|cos〈,〉|,
即=.[10分]
由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),
又=(4,0,-h),
故=.
解得h=.[12分]
又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,
所以四棱锥P-ABCD的体积为
V=×S×PA=×16×=.										[14分]
温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题,可以建坐标系或利用基底表示向量;
(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线;
(3)对于和平面有关的垂直问题,也可利用平面的法向量.
方法与技巧
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
失误与防范
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、填空题
1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则直线l与平面α的位置关系为________.
答案 l∥α或lα
2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是________.(填序号)
①a=(1,0,0),n=(-2,0,0);
②a=(1,3,5),n=(1,0,1);
③a=(0,2,1),n=(-1,0,-1);
④a=(1,-1,3),n=(0,3,1).
答案 ④
解析 若l∥α,则a·n=0,
④中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,∴a⊥n.
3.设平面α的法向量为a=(1,2,-2),平面β的法向量b=(-2,h,k),若α∥β,则h+k的值为________.
答案 0
解析 由α∥β得a∥b,∴==,
∴h=-4,k=4,∴h+k=0.
4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于________.
答案 
解析 由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
∴,∴.
5.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM所成的角为________.
答案 90°
解析 以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),
M(,2,0).
∴=(,1,-),
=(-,2,0),
∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0,
即⊥,∴AM⊥PM.
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=________.
答案 -4
解析 ∵a·b=x-2+6=0,∴x=-4.
7.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上,则a=________.
答案 16
解析 =(-1,-3,2),=(6,-1,4).
根据共面向量定理,设=x+y (x、y∈R),
则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)
=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),
∴ 解得x=-7,y=4,a=16.
8.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.
答案 平行
解析 ∵正方体棱长为a,A1M=AN=,
∴=,=,
∴=++=++
=(+)++(+)
=+.
又∵是平面B1BCC1的法向量,
∴·=·=0,
∴⊥.又∵MN平面B1BCC1,
∴MN∥平面B1BCC1.
二、解答题
9.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.证明:平面PQC⊥平面DCQ.

证明 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
∴·=0,·=0.即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
又DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ,
又PQ平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.
10.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ACBD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.
(1)求证:EF∥平面PAB;
(2)求证:平面PAD⊥平面PDC.
证明 (1)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
∴E(,1,),F(0,1,),=(-,0,0),=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).
∵=-,∴∥,即EF∥AB,
又AB平面PAB,EF平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)∵·=(0,0,1)·(1,0,0)=0,
·=(0,2,0)·(1,0,0)=0,
∴⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC.
又AP∩AD=A,∴DC⊥平面PAD.
∵DC平面PDC,∴平面PAD⊥平面PDC.
B组 专项能力提升
(时间:40分钟)
1.已知平面ABC,点M是空间任意一点,点M满足条件=++,则直线AM与平面ABC的位置关系是________.
答案 AM平面ABC
解析 由已知得M、A、B、C四点共面.所以AM在平面ABC内.
2.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足=λ的实数λ有________个.
答案 2
解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐标为,
又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,
∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.
∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.
3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为________.
答案 
解析 |a|==3,
|b|==3,
a·b=2×2+(-1)×2+2×1=4,
∴cos〈a,b〉==,sin〈a,b〉=,
S平行四边形=|a||b|·sin〈a,b〉=.
4.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO、AM的位置关系是____________.
答案 异面且垂直
解析 建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO、AM的位置关系是异面且垂直.

5.如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
(1)求证:BC1⊥AB1;
(2)求证:BC1∥平面CA1D.
证明 如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因此⊥,故BC1⊥AB1.
(2)连结A1C,取A1C的中点E,连结DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),
所以=-,又ED和BC1不共线,
所以ED∥BC1,又DE平面CA1D,
BC1平面CA1D,故BC1∥平面CA1D.
6.如图所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ABC;
(2)B1F⊥平面AEF.
证明 (1)如图建立空间直角坐标系A-xyz,
令AB=AA1=4,
则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).
取AB中点为N,连结CN,
则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),
∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),
∴=,∴DE∥NC,
又∵NC平面ABC,DE平面ABC.
故DE∥平面ABC.
(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).
·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.
∴⊥,⊥,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,
又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF.
7.在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.
(1)证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0)、
A(a,0,0)、B(a,a,0)、
C(0,a,0)、E、
P(0,0,a)、F.
=,=(0,a,0).
∵·=0,∴⊥,即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0,z),则=,
若使GF⊥平面PCB,则
由·=·(a,0,0)
=a=0,得x=;
由·=·(0,-a,a)
=+a=0,得z=0.
∴G点坐标为,即G点为AD的中点.



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